电磁学基础内容复习概要

博主：风鸣
发布时间：2020 年 07 月 09 日
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分类：物理

电磁学最基本部分的复习概要。本文为笔者本科电磁学期末考试前复习笔记的电子版本。

基本概念

静电场

电荷$Q$产生的电场

$$ \mathbf{E} = \frac{\mathbf{F}}{q} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2} \hat{r} $$

$q$为试探电荷；单位N/C. $\varepsilon_0\approx 8.85 \times 10^{-12} \, \text{C}^2/\text{N m}^2$ 为真空介电常数.

叠加原理（向量）：

$$ \mathbf{E}_{\text{total}} = \sum_i \mathbf{E}_i. $$

电势（一般认为无穷远处电势为0）

$$ V=\frac{U}{q}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r}, $$

$V$电势，$U$电势能，$q$电荷。最后一个等号对点电荷成立，其它电荷分布由积分得到。

$$ \mathbf{E} = -\nabla V. $$

Coulomb定律：

$$ \mathbf{F} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{r^2} \hat{r}. $$

对线，面，体电荷分布，$Q$可由积分计算。

Gauss定理：

$$ \Phi_E = \oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}. $$

$ \Phi_E $ 为电通量（electric flux）， $ Q_{\text{enc}} $ 为闭合曲面$\mathbf{A}$内部电荷量.

Gauss定理的微分形式:

$$ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}, $$

$\rho$为电荷密度。

环路定理：静电场的环量

$$ \oint\mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}=0. $$

Gauss定理（平方反比）+环路定理（保守场）->Coulomb定律。静电场有源无旋。

电容用于衡量每单位电势差存储电荷的能力

$$ C=\frac{Q}{V} $$

C为电容，Q为存储的电荷，V为电势差。

电流: 电流强度$I$

$$ I=\frac{\Delta q}{\Delta t}, $$

电流密度$\mathbf{j}$, 有关系

$$ I=\int_S \mathbf{j}\cdot d\mathbf{S}. $$

电流连续性方程 （源于电荷守恒）

$$ \oint_S \mathbf{j}\cdot d\mathbf{S}=-\frac{dq}{dt}, $$

或微分形式

$$ \mathbf{\nabla\cdot j}+\frac{\partial \rho_e}{\partial t}=0. $$

Ohm定律和Joule定律
对稳恒电流有

$$ U=IR,\quad P=I^2 R. $$

微观（适用范围略广）有：

$$ \mathbf{j}=\sigma \mathbf{E},\quad p=\frac{j^2}{\sigma}=\sigma E^2, $$

$\sigma$为电阻率（电导率的倒数）。

静磁场

磁感应强度$ \mathbf{B} $单位Tesla（T），1 T=1 N/(A m). 磁场有极，同极排斥，异极吸引；磁场线：北极出、南极入（磁体）。

Lorentz力：带电粒子在电磁场中

$$ \mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}), $$

电荷线分布（$I$为电流强度）

$$ d\mathbf{F}=Id\mathbf{l}\times\mathbf{B}, $$

电荷面分布（$\mathbf{i}$为面电流密度）

$$ d\mathbf{F}=\mathbf{i}\times\mathbf{B}dS, $$

电荷体分布（$\mathbf{j}$为体电流密度）

$$ d\mathbf{F}=\mathbf{j}\times\mathbf{B}dV. $$

此处注意线/面/体分布的电流元。

磁流$ \Phi_B $

$$ \Phi_B = \int \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} $$

静磁场的Gauss定理

$$ \Phi_B = \oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0, $$

微分形式：

$$ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0. $$

恒定电流导线产生的磁场：Biot-Savart定律

$$ d\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \, d\mathbf{l} \times \hat{\mathbf{r}}}{r^2}, $$

$\mu_0$真空磁导率 ($ \mu_0 \approx 4\pi \times 10^{-7} \, \text{N/A}^2 $)，$I$电流。积分形式：

$$ \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf{I} \times \mathbf{\hat{r}}'}{r'^2} \, d\ell'. $$

线电流元$Id\mathbf{l}$可替换为面电流元$\mathbf{i}dS$，体电流元$\mathbf{j}dV$。

简单结论：对于长、直导线，有

$$ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}. $$

对电流通过对线圈，有

$$ B = \mu_0 n I $$

n为单位长度内的绕数。

Ampère环路定理（稳恒电流的积分形式）

$$ \oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}} $$

$ I_{\text{enc}} $为环路内的总电流，正负按回路绕行（积分）对方向右手定则规定。微分形式

$$ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} $$

Gauss定理（无源-无孤立磁荷/磁单极子）+环路定理（有旋）->Biot-Savart定律。静电场无源有旋。

电磁感应

Faraday电磁感应定律
闭合回路中的感应电动势为通过该回路磁通量变化率的负值

$$ \mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt} $$

磁通量

$$ \Phi_B = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A} = B A \cos(\theta) $$

在SI下单位为Weber(Wb).

方向的一个简单判断：感应电流“反对”磁通量的变化（Lenz定律）。

感应电动势的几种情形（动生电动势，感生电动势）：

导体在磁场中运动
$$ \mathcal{E} = B l v \sin(\theta) $$
$l, v$为导体长度速度；$\theta$为速度与磁场法向夹角。
变化磁场
改变磁场强度或导体环面积（改变磁通量）。
转动导体环

自感和互感

自感线圈的电流变化对其自身产生感应电动势

$$ \mathcal{E} = -L \frac{di}{dt} $$

$L$为自感系数，$i$为电流。

互感一个线圈的电流变化对另一线圈产生感应电动势

$$ \mathcal{E}_2 = -M \frac{di_1}{dt} $$

$M$为互感系数。1/2反之亦然。

Maxwell方程组

静电场，静磁场，变化磁场激发电场（电磁感应），变化电场激发磁场（位移电流）。

Maxwell方程组

电场的Gauss定律（通过闭合曲面的电通量正比于曲面内的电荷量）
$$ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}. $$
磁场的Gauss定律（通过闭合曲面的磁通量为零）
$$ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0. $$
Faraday电磁感应定律（变化的磁场在闭合回路中诱导出电动势）
$$ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}. $$
Ampère-Maxwell定律（闭合回路周围的磁场与通过回路的电流密度和电场的变化率成正比）
$$ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}. $$

方程组的积分形式（与相应的面积-current 体积-charge有关）

电场的Gauss定律
$$ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}. $$
磁场的Gauss定律
$$ \oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0. $$
Faraday电磁感应定律
$$ \oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt} \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}. $$
Ampère-Maxwell定律
$$ \oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d}{dt} \int_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A}. $$

一些注记：

电磁波 存在且以光速传播；波动方程
$$ \nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2},\quad c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} . $$
电荷守恒 有连续性方程
$$ \nabla \cdot \mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0. $$
电磁辐射 电磁波具有能量和动量

简单特殊情况

恒定电场（电荷静止）
$$ \nabla \times \mathbf{E} = 0,\quad \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} . $$
恒定磁场（电流稳态）
$$ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} ,\quad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 . $$

场中的介质

分导体（conducting matter）、电介质（dielectric matter）、磁介质（magnetic matter）讨论极化（polarization）和磁化（magnetization）。

静电场中的导体

介质的极化

定义极化强度矢量$\mathbf{P}$：极化后的介质中单位体积内电偶极矩的矢量和。

电介质中的极化强度矢量$\mathbf{P}$定义为：

$$ \mathbf{P} = \varepsilon_0 \chi_e \mathbf{E} $$

$\chi_e$电极化率。

为处理方便，引入辅助矢量$ \mathbf{D} $ 电位移矢量：

$$ \mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} $$

或

$$ \mathbf{D} = \varepsilon_0 (1 + \chi_e) \mathbf{E} = \varepsilon \mathbf{E} $$

$ \varepsilon = \varepsilon_0 (1 + \chi_e) $为介质的介电常数。

介质的磁化

类似，定义磁化强度矢量$\mathbf{M}$：单位体积分子磁矩的矢量和。

对磁介质，有

$$ \mathbf{M} = \chi_m \mathbf{H} $$

$\chi_m$磁化率，$\mathbf{H}$磁场强度。

此时，磁感应强度与磁场强度、磁化强度间存在关系

$$ \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{H} + \mathbf{M} $$

或

$$ \mathbf{B} = \mu_0 (1 + \chi_m) \mathbf{H} = \mu \mathbf{H} $$

$ \mu = \mu_0 (1 + \chi_m) $为介质的磁导率。

介质中的Maxwell方程组

Gauss定律（电）：$\rho_f$为自由电荷密度（不计极化电荷密度）

$$ \nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_f $$

Gauss定律（磁）：

$$ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 $$

Faraday电磁感应定律：

$$ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} $$

Ampère-Maxwell定律：$ \mathbf{J_f} $为自由电流密度

$$ \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J_f} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} $$

相应地，对于一定线/面/体上的分布可变换为积分形式。

边值关系

电极化

有

$$ \mathbf{n}\times(\mathbf{E}_2-\mathbf{E}_1)=0 $$

和

$$ \mathbf{n}\cdot(\mathbf{D}_2-\mathbf{D}_1)=\sigma_f $$

界面两侧切向$\mathbf{E}$连续，法向$\mathbf{D}$相差界面自由电荷密度（有时可忽略）。界面两侧电势$U$连续。

磁化

有

$$ \mathbf{n}\cdot(\mathbf{B}_2-\mathbf{B}_1)=0 $$

和

$$ \mathbf{n}\times(\mathbf{H}_2-\mathbf{H}_1)=\mathbf{K}_f $$

法向$\mathbf{B}$连续，切向$\mathbf{H}$相差界面自由电流密度。

电磁场的能量和能流

静电能

与电荷分布有关。

电荷分布的相互作用能

对$N$个真空点电荷体系的相互作用能

$$ W_{interact}=\frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\sum_{i,j=1,\ i\neq j}^{N}\frac{q_i q_j}{r_{ij}}. $$

系数8是由于求和求了两次。

对于连续电荷分布，有：

体电荷分布

$$ W_e=\frac{1}{2}\int_V \rho_e(\mathbf{r})U(\mathbf{r})dV. $$

面电荷分布

$$ W_e=\frac{1}{2}\int_S \sigma_e(\mathbf{r})U(\mathbf{r})d\mathbf{A}. $$

注意！总能量=自能+互能

$$ W_e=W_{self}+W_{interact}. $$

此处已近似：带电体/面元$\rho_e(\mathbf{r})dV$, $\sigma_e(\mathbf{r})d\mathbf{A}$在$dV$, $d\mathbf{A}\to 0$时，自能也趋于零，故其引发的电势可忽略；但对线电荷分布、点电荷，自能的计算不成立（积分发散）；但可计算互能。

$$ W_{interact}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}q_i U_i $$

和

$$ W_{interact}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\int_{L_i}\lambda_e(\mathbf{l})U_i(\mathbf{l})d\mathbf{l}. $$

外电场中的静电能

属于相互作用能部分。对点电荷分布，有

$$ W_e=\sum_{i=1}^{N}q_i U(\mathbf{r}_i) $$

体电荷分布

$$ W_e=\int_V \rho_e(\mathbf{r})U(\mathbf{r})dV. $$

电场的能量密度

单位体积的静电能。

$$ \omega_e=\frac{1}{2}\mathbf{D\cdot E} $$

对各向同性介质，有

$$ \omega_e=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}\varepsilon E^2. $$

总静电能

$$ W_e=\int_V \omega_edV=W_{e0}+W_{p} $$

$W_p$为介质的极化能。

考虑$\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$，可得

$$ W_{e0}=\frac{1}{2}\int_V\varepsilon_0 E^2 dV,\ W_p=\frac{1}{2}\int_V \mathbf{P\cdot E}dV. $$

可解释为$\varepsilon_0 E^2/2$宏观静电能密度，$\mathbf{P\cdot E}/2$极化能密度；和为$\omega_e$.

电容器存储的能量

考虑平行板电容器。

$$ W_e = \frac{1}{2} CV^2 $$

其中$V$为电压，$C$为电容。对平行板电容器，有

$$ C = \frac{\varepsilon A}{d}, $$

面积、距离、介电常数。

磁能

与电流和磁性材料分布有关.

磁场总能量与磁能密度

磁场的总能量

$$ W_B = \int_V \omega_B \, dV = \frac{1}{2} \int_V \mathbf{B\cdot H} \, dV= \frac{1}{2} \int_V \frac{B^2}{\mu} \, dV, $$

其中磁能密度

$$ \omega_B = \frac{1}{2}\mathbf{B\cdot H} = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu}. $$

感应线圈中的能量

$$ U_B = \frac{1}{2} LI^2 $$

其中$I$为通过的电流，$L$为电感。对螺线圈，有

$$ L = \frac{\mu N^2 A}{l}, $$

绕数，截面积，长度。

电磁场

在静止、均匀、各向同性介质中，电磁场的能量密度

$$ \omega=\frac{1}{2}\mathbf{D\cdot E}+\frac{1}{2}\mathbf{B\cdot H}, $$

能流密度或Poynting矢量

$$ \mathbf{S=E \times H}, $$

动量密度

$$ \mathbf{g=D\times B}, $$

角动量密度

$$ \mathbf{l= r\times g}. $$

总量由体积分得到。

电路

（这不重要...）

最后修改：2024 年 12 月 07 日

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电磁学基础内容复习概要

风鸣 • 2020 年 07 月 09 日

电磁学最基本部分的复习概要。本文为笔者本科电磁学期末考试前复习笔记的电子版本。<h1>基本概念</h1><h2>静电场</h2>电荷$Q$产生的电场$$
\mathbf{E} = \frac{\mathbf{F}}{q} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2} \hat{r}
$$$q$为试探电荷；单位N/C. $\varepsilon_0\approx 8.85 \times 10^{-12} \, \text{C}^2/\text{N m}^2$ 为真空介电常数.叠加原理（向量）：$$
\mathbf{E}_{\text{total}} = \sum_i \mathbf{E}_i.
$$电势（一般认为无穷远处电势为0）$$
V=\frac{U}{q}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r},
$$$V$电势，$U$电势能，$q$电荷。最后一个等号对点电荷成立，其它电荷分布由积分得到。$$
\mathbf{E} = -\nabla V.
$$Coulomb定律：$$
\mathbf{F} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{r^2} \hat{r}.
$$对线，面，体电荷分布，$Q$可由积分计算。Gauss定理：$$
\Phi_E = \oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
$$$ \Phi_E $ 为电通量（electric flux）， $ Q_{\text{enc}} $ 为闭合曲面$\mathbf{A}$内部电荷量.Gauss定理的微分形式:$$
\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0},
$$$\rho$为电荷密度。环路定理：静电场的环量$$
\oint\mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}=0.
$$Gauss定理（平方反比）+环路定理（保守场）-&gt;Coulomb定律。静电场有源无旋。电容用于衡量每单位电势差存储电荷的能力$$
C=\frac{Q}{V}
$$C为电容，Q为存储的电荷，V为电势差。电流: 电流强度$I$$$
I=\frac{\Delta q}{\Delta t},
$$电流密度$\mathbf{j}$, 有关系$$
I=\int_S \mathbf{j}\cdot d\mathbf{S}.
$$电流连续性方程 （源于电荷守恒）$$
\oint_S \mathbf{j}\cdot d\mathbf{S}=-\frac{dq}{dt},
$$或微分形式$$
\mathbf{\nabla\cdot j}+\frac{\partial \rho_e}{\partial t}=0.
$$Ohm定律和Joule定律 对稳恒电流有$$
U=IR,\quad P=I^2 R.
$$微观（适用范围略广）有：$$
\mathbf{j}=\sigma \mathbf{E},\quad p=\frac{j^2}{\sigma}=\sigma E^2,
$$$\sigma$为电阻率（电导率的倒数）。<h2>静磁场</h2>磁感应强度$ \mathbf{B} $单位Tesla（T），1 T=1 N/(A m). 磁场有极，同极排斥，异极吸引；磁场线：北极出、南极入（磁体）。Lorentz力：带电粒子在电磁场中$$
\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}),
$$电荷线分布（$I$为电流强度）$$
d\mathbf{F}=Id\mathbf{l}\times\mathbf{B},
$$电荷面分布（$\mathbf{i}$为面电流密度）$$
d\mathbf{F}=\mathbf{i}\times\mathbf{B}dS,
$$电荷体分布（$\mathbf{j}$为体电流密度）$$
d\mathbf{F}=\mathbf{j}\times\mathbf{B}dV.
$$此处注意线/面/体分布的电流元。磁流$ \Phi_B $$$
\Phi_B = \int \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}
$$静磁场的Gauss定理$$
\Phi_B = \oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0,
$$微分形式：$$
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0.
$$恒定电流导线产生的磁场：Biot-Savart定律$$
d\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \, d\mathbf{l} \times \hat{\mathbf{r}}}{r^2},
$$$\mu_0$真空磁导率 ($ \mu_0 \approx 4\pi \times 10^{-7} \, \text{N/A}^2 $)，$I$电流。积分形式：$$
\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf{I} \times \mathbf{\hat{r}}&#039;}{r&#039;^2} \, d\ell&#039;.
$$线电流元$Id\mathbf{l}$可替换为面电流元$\mathbf{i}dS$，体电流元$\mathbf{j}dV$。简单结论：对于长、直导线，有$$
B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}.
$$对电流通过对线圈，有$$
B = \mu_0 n I
$$n为单位长度内的绕数。Ampère环路定理（稳恒电流的积分形式）$$
\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}
$$$ I_{\text{enc}} $为环路内的总电流，正负按回路绕行（积分）对方向右手定则规定。微分形式$$
\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}
$$Gauss定理（无源-无孤立磁荷/磁单极子）+环路定理（有旋）-&gt;Biot-Savart定律。静电场无源有旋。<h2>电磁感应</h2>Faraday电磁感应定律 闭合回路中的感应电动势为通过该回路磁通量变化率的负值$$
\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}
$$磁通量$$
\Phi_B = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A} = B A \cos(\theta)
$$在SI下单位为Weber(Wb).方向的一个简单判断：感应电流“反对”磁通量的变化（Lenz定律）。感应电动势的几种情形（动生电动势，感生电动势）：<ul><li>导体在磁场中运动$$
\mathcal{E} = B l v \sin(\theta)
$$$l, v$为导体长度 速度；$\theta$为速度与磁场法向夹角。</li><li>变化磁场 改变磁场强度或导体环面积（改变磁通量）。</li><li>转动导体环</li></ul>自感和互感自感 线圈的电流变化对其自身产生感应电动势$$
\mathcal{E} = -L \frac{di}{dt}
$$$L$为自感系数，$i$为电流。互感 一个线圈的电流变化对另一线圈产生感应电动势$$
\mathcal{E}_2 = -M \frac{di_1}{dt}
$$$M$为互感系数。1/2反之亦然。<h2>Maxwell方程组</h2>静电场，静磁场，变化磁场激发电场（电磁感应），变化电场激发磁场（位移电流）。Maxwell方程组<ul><li>电场的Gauss定律（通过闭合曲面的电通量正比于曲面内的电荷量）$$
\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}.
$$</li><li>磁场的Gauss定律（通过闭合曲面的磁通量为零）$$
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0.
$$</li><li>Faraday电磁感应定律（变化的磁场在闭合回路中诱导出电动势）$$
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.
$$</li><li>Ampère-Maxwell定律（闭合回路周围的磁场与通过回路的电流密度和电场的变化率成正比）$$
\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.
$$</li></ul>方程组的积分形式（与相应的面积-current 体积-charge有关）<ul><li>电场的Gauss定律$$
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
$$</li><li>磁场的Gauss定律$$
\oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0.
$$</li><li>Faraday电磁感应定律$$
\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt} \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}.
$$</li><li>Ampère-Maxwell定律$$
\oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d}{dt} \int_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A}.
$$</li></ul>一些注记：<ul><li>电磁波 存在且以光速传播；波动方程$$
\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2},\quad c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} .
$$</li><li>电荷守恒 有连续性方程$$
\nabla \cdot \mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0.
$$</li><li>电磁辐射 电磁波具有能量和动量</li></ul>简单特殊情况<ul><li>恒定电场（电荷静止）$$
 \nabla \times \mathbf{E} = 0,\quad \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} .
$$</li><li>恒定磁场（电流稳态）$$
 \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} ,\quad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 .
$$</li></ul><h1>场中的介质</h1>分导体（conducting matter）、电介质（dielectric matter）、磁介质（magnetic matter）讨论极化（polarization）和磁化（magnetization）。<h2>静电场中的导体</h2><h2>介质的极化</h2>定义极化强度矢量$\mathbf{P}$：极化后的介质中单位体积内电偶极矩的矢量和。电介质中的极化强度矢量$\mathbf{P}$定义为：$$
\mathbf{P} = \varepsilon_0 \chi_e \mathbf{E}
$$$\chi_e$电极化率。为处理方便，引入辅助矢量$ \mathbf{D} $ 电位移矢量：$$
\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}
$$或$$
\mathbf{D} = \varepsilon_0 (1 + \chi_e) \mathbf{E} = \varepsilon \mathbf{E}
$$$ \varepsilon = \varepsilon_0 (1 + \chi_e) $为介质的介电常数。<h2>介质的磁化</h2>类似，定义磁化强度矢量$\mathbf{M}$：单位体积分子磁矩的矢量和。对磁介质，有$$
\mathbf{M} = \chi_m \mathbf{H}
$$$\chi_m$磁化率，$\mathbf{H}$磁场强度。此时，磁感应强度与磁场强度、磁化强度间存在关系$$
\mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{H} + \mathbf{M}
$$或$$
\mathbf{B} = \mu_0 (1 + \chi_m) \mathbf{H} = \mu \mathbf{H}
$$$ \mu = \mu_0 (1 + \chi_m) $为介质的磁导率。<h2>介质中的Maxwell方程组</h2>Gauss定律（电）：$\rho_f$为自由电荷密度（不计极化电荷密度）$$
\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_f
$$Gauss定律（磁）：$$
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0
$$Faraday电磁感应定律：$$
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}
$$Ampère-Maxwell定律：$ \mathbf{J_f} $为自由电流密度$$
\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J_f} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}
$$相应地，对于一定线/面/体上的分布可变换为积分形式。<h2>边值关系</h2><h3>电极化</h3>有$$
\mathbf{n}\times(\mathbf{E}_2-\mathbf{E}_1)=0
$$和$$
\mathbf{n}\cdot(\mathbf{D}_2-\mathbf{D}_1)=\sigma_f
$$界面两侧切向$\mathbf{E}$连续，法向$\mathbf{D}$相差界面自由电荷密度（有时可忽略）。界面两侧电势$U$连续。<h3>磁化</h3>有$$
\mathbf{n}\cdot(\mathbf{B}_2-\mathbf{B}_1)=0
$$和$$
\mathbf{n}\times(\mathbf{H}_2-\mathbf{H}_1)=\mathbf{K}_f
$$法向$\mathbf{B}$连续，切向$\mathbf{H}$相差界面自由电流密度。<h1>电磁场的能量和能流</h1><h2>静电能</h2>与电荷分布有关。<h3>电荷分布的相互作用能</h3>对$N$个真空点电荷体系的相互作用能$$
W_{interact}=\frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\sum_{i,j=1,\ i\neq j}^{N}\frac{q_i q_j}{r_{ij}}.
$$系数8是由于求和求了两次。对于连续电荷分布，有：体电荷分布$$
W_e=\frac{1}{2}\int_V \rho_e(\mathbf{r})U(\mathbf{r})dV.
$$面电荷分布$$
W_e=\frac{1}{2}\int_S \sigma_e(\mathbf{r})U(\mathbf{r})d\mathbf{A}.
$$注意！总能量=自能+互能$$
W_e=W_{self}+W_{interact}.
$$此处已近似：带电体/面元$\rho_e(\mathbf{r})dV$, $\sigma_e(\mathbf{r})d\mathbf{A}$在$dV$, $d\mathbf{A}\to 0$时，自能也趋于零，故其引发的电势可忽略；但对线电荷分布、点电荷，自能的计算不成立（积分发散）；但可计算互能。$$
W_{interact}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}q_i U_i
$$和$$
W_{interact}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\int_{L_i}\lambda_e(\mathbf{l})U_i(\mathbf{l})d\mathbf{l}.
$$<h3>外电场中的静电能</h3>属于相互作用能部分。对点电荷分布，有$$
W_e=\sum_{i=1}^{N}q_i U(\mathbf{r}_i)
$$体电荷分布$$
W_e=\int_V \rho_e(\mathbf{r})U(\mathbf{r})dV.
$$<h3>电场的能量密度</h3>单位体积的静电能。$$
\omega_e=\frac{1}{2}\mathbf{D\cdot E}
$$对各向同性介质，有$$
\omega_e=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}\varepsilon E^2.
$$总静电能$$
W_e=\int_V \omega_edV=W_{e0}+W_{p}
$$$W_p$为介质的极化能。考虑$\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$，可得$$
W_{e0}=\frac{1}{2}\int_V\varepsilon_0 E^2 dV,\ W_p=\frac{1}{2}\int_V \mathbf{P\cdot E}dV.
$$可解释为$\varepsilon_0 E^2/2$宏观静电能密度，$\mathbf{P\cdot E}/2$极化能密度；和为$\omega_e$.<h3>电容器存储的能量</h3>考虑平行板电容器。$$
W_e = \frac{1}{2} CV^2
$$其中$V$为电压，$C$为电容。对平行板电容器，有$$
C = \frac{\varepsilon A}{d},
$$面积、距离、介电常数。<h2>磁能</h2>与电流和磁性材料分布有关.<h3>磁场总能量与磁能密度</h3>磁场的总能量$$
W_B = \int_V \omega_B \, dV = \frac{1}{2} \int_V \mathbf{B\cdot H} \, dV= \frac{1}{2} \int_V \frac{B^2}{\mu} \, dV,
$$其中磁能密度$$
\omega_B = \frac{1}{2}\mathbf{B\cdot H} = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu}.
$$<h3>感应线圈中的能量</h3>$$
U_B = \frac{1}{2} LI^2
$$其中$I$为通过的电流，$L$为电感。对螺线圈，有$$
L = \frac{\mu N^2 A}{l},
$$绕数，截面积，长度。<h2>电磁场</h2>在静止、均匀、各向同性介质中，电磁场的能量密度$$
\omega=\frac{1}{2}\mathbf{D\cdot E}+\frac{1}{2}\mathbf{B\cdot H},
$$能流密度或Poynting矢量$$
\mathbf{S=E \times H},
$$动量密度$$
\mathbf{g=D\times B},
$$角动量密度$$
\mathbf{l= r\times g}.
$$总量由体积分得到。<h1>电路</h1>（这不重要...）

电磁学基础内容复习概要

基本概念

静电场

静磁场

电磁感应

Maxwell方程组

场中的介质

静电场中的导体

介质的极化

介质的磁化

介质中的Maxwell方程组

边值关系

电极化

磁化

电磁场的能量和能流